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　　2．乘积取整法 ． 关键字k乘以一个在 乘以一个在(0,1)中的实数（最好是无理 中的实数（ 关键字 乘以一个在 中的实数 ），得到一个 得到一个(0,1)之间的实数；取出其小数部 之间的实数； 数），得到一个 之间的实数 乘以m，再取整数部分，即得K在 分，乘以 ，再取整数部分，即得 在Hash表中 表中 的位置。函数表达式可以写成： 的位置。函数表达式可以写成：

　　转花盆 给定两个正6边形的花坛，要求求出从第一个变化 到第二个的最小操作次数以及操作方式。 一次操作是：选定不在边上的一盆花，将这盆花 周围的6盆花按照顺时针或者逆时针的顺序依次移 动一个单位。 限定一个花坛里摆放的不同种类的花不超过3种， 对于任意两种花，数量多的花的盆数至少是数量 少的花的2倍。

　　题目要求出给定的方程解的个数，这个方 题目要求出给定的方程解的个数， 程在最坏的情况下可以有6个未知数 个未知数， 程在最坏的情况下可以有 个未知数，而且 次数由输入决定。 次数由输入决定。这样就不能利用数学方 法直接求出解的个数， 法直接求出解的个数，而且注意到解的范 围最多150个数，因此恐怕只能使用枚举法 个数， 围最多 个数 了。最简单的思路是穷举所有未知数的取 无法承受。 值，这样时间复杂度是 O(M6) ，无法承受。

　　两个不同的关键字，由于散列函数值相同，因而被映 两个不同的关键字，由于散列函数值相同， 射到同一表位置上。该现象称为冲突(Collision)或碰撞。 或碰撞。 射到同一表位置上。该现象称为冲突 或碰撞 安全避免冲突的条件 最理想的解决冲突的方法是安全避免冲突。要做到这一点 最理想的解决冲突的方法是安全避免冲突。 必须满足两个条件： 必须满足两个条件： 其一是U≤m ①其一是 ②其二是选择合适的散列函数。 其二是选择合适的散列函数。 这只适用于U较小 且关键字均事先已知的情况， 较小， 这只适用于 较小，且关键字均事先已知的情况，此 时经过精心设计散列函数h有可能完全避免冲突 有可能完全避免冲突。 时经过精心设计散列函数 有可能完全避免冲突。 影响冲突的因素 冲突的频繁程度除了与h相关外 相关外， 冲突的频繁程度除了与 相关外，还与表的填满程度 相关。 相关。 设m和n分别表示表长和表中填人的结点数，则将 和 分别表示表长和表中填人的结点数， 分别表示表长和表中填人的结点数 α=n/m定义为散列表的装填因子 定义为散列表的装填因子(Load Factor)。α越大， 越大， 定义为散列表的装填因子 。 越大 表越满，冲突的机会也越大。通常取α≤1。 表越满，冲突的机会也越大。通常取 。 冲突

　　让排列与数 让排列与数1--A(m,n)之间建立一一对应的关系。 之间建立一一对应的关系。 之间建立一一对应的关系 n 1 引理 n ∈ N n!= 1 ∑ k k! k =1 从0到n!-1的任何自然数可唯一地表示为 到 的任何自然数可唯一地表示为

　　题目给出一个 1--12 位的数，找出在字典中出现且密码是 这个数的所有字符串。字典中字符串的个数不超过 8000 。

　　对于给定的编码，只需要一个回溯的过程，所有可能的原 对于给定的编码，只需要一个回溯的过程， 字符串都可以被列举出来， 字符串都可以被列举出来，剩下的就是检查这个字符串是 否在给定的字典中了。 否在给定的字典中了。 所以这个问题需要的还是“某个元素是否在已知集合中？” 所以这个问题需要的还是“某个元素是否在已知集合中？ 由于给出的“姓名”都是字符串， 由于给出的“姓名”都是字符串，因此我们可以利用字符 的 ASCII 码。 那么，如何设计这个哈希函数呢？注意到题目给出的字典 那么，如何设计这个哈希函数呢？ 最多能有5000 个不同元素，而一个字符的 ASCII 码 个不同元素， 中，最多能有 只能有26 种不同的取值，因此至少需要用在3个位置上的 只能有 种不同的取值，因此至少需要用在 个位置上的 字符（ ），于是我们就 字符（26^3 5000，但是 26^2 5000 ），于是我们就 ， 选取3个位置上的字符 个位置上的字符。 选取 个位置上的字符。由于给定的字符串的长度从 1-12 都有可能，为了容易实现，选取最开始的1个字符和最 都有可能，为了容易实现，选取最开始的 个字符和最 末尾的2个字符 让这3个字符组成 进制的3位数 个字符。 个字符组成27进制的 位数， 末尾的 个字符。让这 个字符组成 进制的 位数，则这 个数的值就是这个字符串的编码。 个数的值就是这个字符串的编码。这样哈希函数就设计出 来了！ 来了！

　　首先确定本题可以用广度优先搜索处理，然后来看问题的 规模。 正6边形共有19个格子可以用来放花，而且根据最后一句 限定条件，至多只能存在 C(2,19) * C(5,17) = 1058148 种 状态，用搜索完全可行。然而操作的时候，可以预料产生 的重复节点是相当多的，需要迅速判重才能在限定时间内 出解，因此想到了哈希表。 那么这个哈希函数如何设计呢？注意到19个格子组成6边 形是有顺序的，而且每一个格子只有3种可能情况，那么 用3进制19位数最大 3^20-1=3486784400 ，完全可以承 受。 于是我们将每一个状态与一个整数对应起来，使用除余法 就可以了。

　　哈希表是一种高效的数据结构 。 散列方法是使用函数h将U映射到表T[0..m-1]的下标上 （m=O(U)）。这样以U中关键字为自变量，以h为函数 的运算结果就是相应结点的存储地址。从而达到在O(1)时 间内就可完成查找。

　　冲突发生时，使用某种探查(亦称探测)技术在散列表中形成 一个探查(测)序列。沿此序列逐个单元地查找，直到找Baidu Nhomakorabea给 定的关键字，或者碰到一个开放的地址(即该地址单元为空) 为止（若要插入，在探查到开放的地址，则可将待插入的新 结点存人该地址单元）。查找时探查到开放的地址则表明表 中无待查的关键字，即查找失败。 开放定址法的一般形式为：hi=(h(key)di)％m 1≤i≤m-1 其中： ①h(key)为散列函数，di为增量序列，m为表长。 ②h(key)是初始的探查位置，后续的探查位置依次是hl， h2，…，hm-1，即h(key)，hl，h2，…，hm-1形成了一个 探查序列。 ③若令开放地址一般形式的i从0开始，并令d0=0，则 h0=h(key)，则有： hi=(h(key)di)％m 0≤i≤m-1 探查序列可简记为hi(0≤i≤m-1)。

　　其中： x1, x2 …xn是未知数， k1,k2 …kn是系数， p1,p2 …pn是指 数，且方程中的所有数均为整数。 假设未知数1≤ xi≤M, i=1,2,…,n，求这个方程的整数解的个数。 约束条件 1≤n≤6；1≤M≤150；

　　找名字 给定一个全部由字符串组成的字典，字符串全部由大写字 母构成。其中为每个字符串编写密码，编写的方式是对于 n 位字符串，给定一个 n 位数，大写字母与数字的对应方 式按照电线: J,K,L 6: M,N,O 7: P,R,S 8: T,U,V 9: W,X,Y

　　给定两个集合A、B，集合内的任一元素x满 足1 ≤ x ≤ 109，并且每个集合的元素个数不 大于 104个。我们希望求出A、B之间的关 系。只需确定在B 中但是不在 A 中的元素 的个数即可。

　　我们先不管 与 B 的具体关系如何，注意 我们先不管A 的具体关系如何， 到这个问题的本质就是对于给定的集合A 到这个问题的本质就是对于给定的集合 ， 确定B 所以， 确定 中的元素是否在 A 中。所以，我们 使用哈希表来处理。至于哈希函数， 使用哈希表来处理。至于哈希函数，只要 按照除余法就行了， 按照除余法就行了，由于故意扩大了原题 的数据规模， 的数据规模， H(x) = x mod 15889;

　　字符串本身就可以看成一个 字符串本身就可以看成一个256进制（ANSI字符 进制（ 进制 字符 串为128进制）的大整数，因此我们可以利用直接 进制） 串为 进制 的大整数， log M 取余法，在线性时间内直接算出Hash函数值。 函数值。 取余法，在线性时间内直接算出 函数值 为了保证效果，仍然不能选择太接近 n的数；尤 为了保证效果，仍然不能选择太接近2 的数； 其是当我们把字符串看成一个2 进制数的时候， 其是当我们把字符串看成一个 p进制数的时候， 选择m= 2p -1会使得该字符串的任意一个排列的 选择 会使得该字符串的任意一个排列的 Hash函数值都相同。 函数值都相同。 函数值都相同

　　我们再次注意到 的范围，若想不超时，似乎算法的复杂 我们再次注意到M 的范围，若想不超时， 左右， 度上限应该是 O(M3) 左右，这是因为 1503 10000000 。 这就启示我们能否仅仅通过枚举3个未知数的值来找到答 这就启示我们能否仅仅通过枚举 个未知数的值来找到答 案呢？ 案呢？ 如果这样，前一半式子的值 S 可以确定，这时只要枚举 如果这样， 可以确定， 后3 个数的值，检查他们的和是否等于 -S 即可。这样只 个数的值， 即可。 前面加了一个系数， 相当于在 O(M3) 前面加了一个系数，当然还需要预先算 的各个幂次的值。 出 1 到 150 的各个幂次的值。 想到了这里，问题就是如何迅速的找到某个 S 是否曾经 想到了这里， 出现过，以及出现过了多少次，于是又变成了“ 出现过，以及出现过了多少次，于是又变成了“某个元素 是否在给定集合中”这个问题。 是否在给定集合中”这个问题。 所以，我们还是使用哈希表解决这个问题。至于哈希函数， 所以，我们还是使用哈希表解决这个问题。至于哈希函数， 的值作为关键字使用除余法即可。 还是把 S 的值作为关键字使用除余法即可。有一点需要 注意， 是否出现， 注意，我们不仅需要纪录某个 S 是否出现，出现的次数 也很重要，所以需要加了一个存储出现次数的域。 也很重要，所以需要加了一个存储出现次数的域。

　　不妨设n个元素为 不妨设 个元素为1,2,..,n。对应的规则如下 设序列 个元素为 。对应的规则如下:设序列 (an-1 ,…, a1) 对应的某一排列，其中 i可以看做是排列 中数 对应的某一排列，其中a 可以看做是排列p中数 i1所在位置右边比 小的数的个数。以排列 所在位置右边比i1小的数的个数 为例， 所在位置右边比 小的数的个数。以排列4213为例，它 为例 是元素1,2,3,4的一个排列。4的右边比 小的数的数目为 ， 的一个排列。 的右边比 小的数的数目为3， 的右边比4小的数的数目为 是元素 的一个排列 所以a 右边比3小的数的数目为 同理a 所以 3=3。3右边比 小的数的数目为 ，即a2=0 。同理 1=1 。 。 右边比 小的数的数目为0， 所以排列4213对应于变进制的 对应于变进制的301，也就是十进制的 ；反 所以排列 对应于变进制的 ，也就是十进制的19； 过来也可以从19反推到 反推到301，再反推到排列 过来也可以从 反推到 ，再反推到排列4213。 。

　　3．平方取中法 ． 把关键字K平方， 位作为Hash函数值 把关键字 平方，然后取中间的 log 2 M 位作为 平方 函数值 返回。由于K的每一位都会对其平方中间的若干位产生影 返回。由于 的每一位都会对其平方中间的若干位产生影 因此这个方法的效果也是不错的。 响，因此这个方法的效果也是不错的。但是对于比较小的 K值效果并不是很理想，实现起来也比较繁琐。为了充分 值效果并不是很理想， 值效果并不是很理想 实现起来也比较繁琐。 利用Hash表的空间，M最好取 的整数次幂。例如 表容量 表的空间， 最好取 的整数次幂。例如,表容量 最好取2的整数次幂 利用 表的空间 M=24=16，，关键值 ，，关键值 ，，关键值K=100，那么 h(k)=8 ，